3.8. Problemas métricos
Geometria Descritiva
2004/2005
Tipos de problemas métricos
Distância entre dois pontos
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a um plano
Distância entre duas rectas
Ângulo de duas rectas
Ângulo de uma recta com um plano
Ângulo de dois planos
Distância entre dois pontos
Dois pontos definem um segmento de recta
Qualquer segmento de recta paralelo a umplano de projecção projecta-se em verdadeiragrandeza sobre esse plano
Coloca-se o segmento definido pelos doispontos cuja distância se quer conhecer paraleloa um dos planos de projecção recorrendo a umdos métodos auxiliares estudados
Distância de um ponto a umarecta
Um ponto e uma recta definem um plano
Qualquer segmento de recta paralelo a umplano de projecção projecta-se em verdadeiragrandeza sobre esse plano
Coloca-se o plano definido pelo ponto e pelarecta paralelo a um dos planos de projecçãorecorrendo aos métodos auxiliares estudados
A distância do ponto à recta (comprimento dosegmento perpendicular à recta que passa peloponto) será projectado sobre esse plano emverdadeira grandeza
Distância de um ponto a umplano
A distância de um ponto a um plano é ocomprimento do segmento limitado pelo ponto epelo pé da perpendicular baixada do pontosobre o plano
Se o plano for de topo (vertical) esse segmentoé projectado em verdadeira grandeza sobre oplano frontal (horizontal) de projecção
Transforma-se o plano num plano de topo ounum plano vertical utilizando os métodosauxiliares
X
h
f
P1
P2
Distância de um ponto a umplano
Calcular a distância do ponto P ao planovertical
n2
A1
A2
n1
Traça-se a recta de nível nperpendicular ao plano eque passa em P
O ponto A é o pé daperpendicular baixada por Psobre
A distância do ponto aoplano é a distância entre P1e A1.
X
s2
r2
s1
r1
P1
P2
Distância de um ponto a umplano
Calcular a distância do ponto P ao planooblíquo definido pelas rectas r e s
n2
A1
A2
Traça-se a recta de nível n pertencenteao plano
Faz-se uma mudança do plano frontalde projecção de modo que este fiqueperpendicular à recta n
O plano é agora um plano de topo
O ponto R é o pé da perpendicularbaixada por P sobre
A distância do ponto ao plano é adistância entre P21 e R21
n1
X1
h1
A21
f1
P21
R21
Distância entre duas rectas
Rectas paralelas
A distância entre as duas rectas é igual à distânciade um ponto de uma recta à outra recta (problema dadistância entre um ponto e uma recta)
Rectas enviezadas
Considera-se a recta perpendicular às duas rectas
A distância entre os pontos de intersecção desta nova rectacom as rectas anteriores é a distância entre as duas rectas
Considera-se um plano que contém uma das rectas eé paralelo à outra
A distância de qualquer ponto da recta que não está contidano plano ao plano considerado é a distância entre as duasrectas (problema da distância de um ponto a um plano)
Ângulo de duas rectas
Rectas concorrentes (definem um plano)
Coloca-se o plano que as contém paralelo a um dosplanos de projecção
O ângulo formado pelas duas rectas aparecerá emverdadeira grandeza
Rectas enviezadas
Ângulo de duas rectas enviezadas é o ângulo deduas rectas paralelas àquelas traçadas a partir de umponto qualquer do espaço
Escolhe-se um ponto de uma das rectas e traça-se por esseponto uma recta paralela à outra recta
Reduz-se ao problema do ângulo formado por duas rectasconcorrentes
Ângulo de duas rectas
Calcular o ângulo formado pelas rectasenviezadas r e s
X
s2
r2
s1
r1
n2
n1
Considera-se uma recta t paralela a s econcorrente com r
Traça-se a recta de nível n pertencenteao plano definido por r e t
Efectua-se o rebatimento do planodefinido por r e t em torno da recta denível n
O plano definido por r e t é agora umplano horizontal
O ângulo formado pelas duas rectas é oângulo
t1
Ar1
A1
A2
Ar2
rr1
tr1
t2
Ângulo de uma recta com umplano
Plano vertical e recta horizontal
O ângulo projecta-se em verdadeira grandeza sobreo plano horizontal de projecção
Plano topo e recta frontal
O ângulo projecta-se em verdadeira grandeza sobreo plano frontal de projecção
r
O ângulo de uma rectacom um plano é oângulo que a recta fazcom a sua projecçãosobre o plano
Ângulo de uma recta com umplano
Eixo de um plano é qualquer rectaperpendicular ao plano
O ângulo da recta com o plano é complementardo ângulo que a recta faz com o eixo do plano
r
Eixo do plano
90º-
Por um ponto da rectaconduz-se uma rectaperpendicular ao plano
O ângulo entre a recta e planoé o complementar de ânguloformado pelas duas rectas
r2
r1
f
h
Ângulo de uma recta com umplano
O ângulo da recta com o plano écomplementar do ângulo que a recta fazcom o eixo do plano
Por um ponto da recta conduz-seuma recta perpendicular ao plano
Faz-se o rebatimento do plano quecontém a recta e o eixo do planoem tono de uma recta horizontaldo plano
O ângulo formado pela recta epelo plano é o complementar deângulo formado pelas duas rectas
X
n2
n1
Ar1
A1
A2
rr1
s1
s2
sr1
Ângulo de dois planos
O ângulo de dois planos é um ângulo diedro
A medida de um ângulo diedro é a medida do seurectilíneo
Ângulo rectilíneo de um diedro é o ângulo formadopelas rectas de intersecção dos plano com um planoque lhes é perpendicular
Ângulo de dois planos
Planos de topo
O ângulo rectilíneo é determinado pelos traços frontaisdo plano
Planos verticais
O ângulo rectilíneo é determinado pelos traçoshorizontais do plano
Planos quaisquer
Transformam-se os planos em planos de topo ou planosverticais
Como o menor ângulo formado por dois planos é igualao menor ângulo formado pelos seus eixos
Pode, por qualquer ponto do espaço traçar-se rectasperpendiculares aos planos e medir o ângulo formado por elas