OT: Acompanhamento –
Recuperação de Matemática
Números Racionais: algumasreflexões sobre a construção doconceito
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Pauta
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Os cegos e o elefante
Cinco cegos costumavam diariamente pedir esmolas no portal deentrada da cidade e nenhum deles, até então, havia conhecido umelefante. Por isto, ao saberem que logo chegaria um elefante à cidade,decidiram pedir ao dono que parasse o animal diante do portal paraque eles pudessem “ver com as mãos” o tal de elefante. E assimacontece: o primeiro cego apalpou a lateral do elefante e disse: elaparece um muro; o segundo apalpou uma orelha do elefante e disse:ele é como uma grande ventarola; o terceiro apalpou uma das pernasdo elefante e disse: é como as colunas do templo; o quarto, depois deapalpar umas das presas de marfim, concluiu: é igual a uma lança; oquinto apalpou a tromba e disse: é uma grande cobra.
Então o elefante prosseguiu em sua viagem, enquanto os cegos,em meio a grande falatório, não conseguiram concordar sobre o queseria o elefante, uma vez que cada um teve uma percepção parcial doanimal.
Adaptado por Sérgio Lorenzato, livro “ Para Aprender Matemática” (2008) de Braga (1923,p.167).
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Os cegos e o elefante cont...
Essa história sugere como é falacioso pensar que, conhecendopartes do todo, já se conhece o todo. Por isso, todos os campos damatemática previstos no currículo oficial devem ser ensinados, e mais,de modo integrado. Se concordarmos com as vantagens do ensinointerdisciplinar, com mais forte razão devemos professar o ensinointradisciplinar, o qual pode ser reduzido, sinteticamente, ao ensinointegrado da aritmética, geometria e álgebra. Assim fazendo, os alunosirão perceber a harmonia, coerência e beleza que a matemáticaencerra, apesar de suas várias partes possuírem diferentescaracterísticas, tal qual uma orquestra. Além disso, seriam eliminadasdo ensino da matemática algumas prolixidades que nele persistem e,ainda, seria facilitada a muitos estudantes a desejada aprendizagem.
No entanto, para fazer essa integração é preciso identificar pontosde conexão entre os campos, bem como respeitar as características decada campo ( vocabulário, simbologia, regras, conceitos, definições).
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Objetivo
Propor algumas reflexões sobre o estudodas frações, tentando associar as práticaspedagógicas mais utilizadas a possíveisproblemas ou dificuldades que têm sidoobservados em alunos da Educação Básica.
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I - Estudo das frações associadasàs práticas pedagógicas
ATIVIDADE 1: Conceito de Fração
Resolver individualmente, em 10 minutos atarefa proposta.
- Grupo 1: Problema do 4º ano (3ª série);
- Grupo 2: Problema do 7º ano (6ª série).
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II- Importância do estudo dasfrações - Behr (1993)
Perspectiva prática
Perspectiva psicológica
Perspectiva matemática
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Do ponto de vista prático, oestudo do conceito de número racionalaperfeiçoa a habilidade de dividir, quepermite entender e manipular melhoros problemas do mundo real econstruir o importantíssimo conceitode proporcionalidade.
Perspectiva Prática
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Na perspectiva psicológica, os númerosracionais proporcionam um rico campo, dentrodo qual as crianças podem desenvolver eexpandir suas estruturas mentais para umdesenvolvimento intelectual contínuo, sendomuito oportuno, pois normalmente sãoinseridos no currículo no período da transiçãodo pensamento concreto para o pensamentooperatório formal.
Perspectiva psicológica
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Do ponto de vista matemático, acompreensão do número racional fornece abase sobre a qual serão construídas mais tardeas operações algébricas elementares. Martinez(1992) reforça essas ideias ao argumentar quereduzir o estudo das frações aos númerosdecimais, como uma extensão natural dosistema decimal de numeração, provocariauma perda de experiências pré-algébricasimportantes na formação matemática dosalunos.
Perspectiva matemática
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A abordagem dos números racionais temcomo primeiro objetivo levar os alunos aperceberem que os números naturais, jáconhecidos, são insuficientes para resolverdeterminados problemas.
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Em que pesem as relações entre númerosnaturais e racionais, a aprendizagem dosnúmeros racionais supõe rupturas com ideiasconstruídas pelos alunos acerca dos númerosnaturais, e, portanto, demanda tempo e umaabordagem adequada.
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Ao raciocinar sobre os números racionaiscomo se fossem naturais, os alunos acabamtendo que enfrentar vários obstáculos:
Um deles está ligado ao fato de que cadanúmero racional pode ser representado pordiferentes ( e infinitas) escritas fracionárias;por exemplo, 1/3, 2/6, 3/9 e 4/12 sãodiferentes representações de um mesmonúmero;
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Outro, diz respeito à comparação entreracionais: acostumados com a relação 3>2,terão que construir uma escrita que lhes parececontraditória, ou seja, 1/3 < ½;
Se o “tamanho“ da escrita numérica era umbom indicador da ordem de grandeza no casodos números naturais (8345 > 41), acomparação entre 2,3 e 2,125 já não obedece omesmo critério;
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Se ao multiplicar um número natural poroutro natural (sendo este diferente de 0 ou 1) aexpectativa era a de encontrar um número maiorque ambos, ao multiplicar 10 por ½ sesurpreenderão ao ver que o resultado é menordo que 10.
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Significados das frações
Nunes(2005), PCN e Currículo- SP
•Parte-todo
•Quociente
•Medida
•Operador
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Significado parte-todo
Idéia central – dupla contagem
A prática mais comum para explorar o conceito de fração é a querecorre a situações em que está implícita a relação parte-todo; éo caso das tradicionais divisões de um chocolate em partesiguais.
A relação parte-todo se apresenta, portanto, quando um todo sedivide em partes (equivalentes em quantidade de superfície oude elementos). A fração indica a relação que existe entre umnúmero de partes e o total de partes.
Problema típico – Uma barra de chocolate foidividida em 4 partes iguais. João comeu três dessaspartes. Que fração representa o que João comeu?
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Significado Quociente
Ideia central – Divisão e existência de duas variáveis
Outro significado das frações é o de quociente; baseia-se nadivisão de um natural por outro ( a:b = a/b; b≠0). Para o aluno, ela sediferencia da interpretação anterior, pois dividir um chocolate em 3partes e comer 2 dessas partes é uma situação diferente daquela emque é preciso dividir 2 chocolates para 3 pessoas.
Problema típico – Duas pizzas devem ser divididasentre 5 crianças, represente por uma fração o quecada criança receberá.
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Significado Medida
Ideia central – Representar uma
grandeza tomando outra como referência.
Uma terceira situação, diferente das anteriores, é aquela em que afração é usada como uma espécie de índice comparativo entre duasquantidades de uma grandeza, ou seja, quando é interpretado como razão.Isso ocorre, por exemplo, quando lidamos com informações do tipo “2 decada 3 habitantes de uma cidade são imigrantes”.
Outros exemplos podem ser dados: a possibilidade de sortear umabola verde de uma caixa em que há 2 bolas verdes e 8 bolas de outras cores(2 em 10); o trabalho com escalas em mapas (a escala é de 1cm para100m); a exploração da porcentagem (40 em cada 100 alunos da escolagostam de futebol).
Problema típico – Exprimir o comprimento dosegmento PQ em termos do comprimento do segmento RS.
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Significado Operador
Ideia central – Valor escalar aplicado a umaquantidade.
A essas três interpretações, bastante interessantes deserem exploradas, acrescenta-se mais uma, que será trabalhadanos ciclos finais do EF. Trata-se do significado da fração comooperador, ou seja, quando ela desempenha um papel detransformação, algo que atua sobre uma situação e a modifica.Esta ideia está presente, por exemplo, num problema dotipo “ que número devo multiplicar por 3 para obter 2 “.
Problema típico – Dei 3/4 das balas de um pacote de40 balas a meus irmãos. Quantas balas dei a eles?
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Significados das operações comracionais
Muitos dos significados das operações,analisados em situações que envolvemnúmeros naturais, podem ser estendidos àssituações com números racionais.
Assim, a adição e a subtração sãoexploradas em situações de transformação ,de combinação, de comparação.
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Também a multiplicação e a divisão sãoexploradas em diferentes situações como razão,comparação, configuração retangular.
Apenas o significado da multiplicação comoprocedimento combinatório não é extensivo aosnúmeros racionais não inteiros.
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As medidas e os números racionais
III- Tabulação das respostas obtidasna atividade 1:
Atividade 2
Classificar e tabular os exercícios apresentadosna atividade 1 segundo os significados propostos.
Que significados foram predominantes?
É possível sugerir causas para essa predominância?
É possível apontar consequências dessapredominância?
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Tabulação das respostas obtidas naatividade 1:
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Utilize as tabelas abaixo para registrar a tabulaçãodos resultados da atividade 1:
CAFÉ = 15 MINUTOS
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IV- Representação de frações - Kit Pedagógico -
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V- Analisando Respostas dos Alunos
ATIVIDADE 3
Para os problemas a seguir discuta e responda:
•Que significado é apresentado em cada problema?
•O que cada aluno sabe e quais suas dificuldades?
•É possível apontar causas para essas dificuldades?
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Solução 1
Solução 2
Solução 3
V- Analisando Respostas dos alunos
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Significado:
O que sabe
Dificuldades
Solução 1:
Solução 2:
Solução 3:
V- Analisando Respostas dos Alunos
Leitura/ Interpretação/ Escrita
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VI- Vivenciando atividades doCaderno + Matemática – vol 2
Atividade 4
Analise algumas das propostasapresentadas nos Cadernos + Matemática eclassifique quanto aos significados.
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Cadernos + Matemática - vol 2 p.61
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Cadernos + Matemática - vol 2 p.59
ATIV. 32 – Os três problemas e mais alguns
Situação 1: um pai quer repartir 3 folhas de papel de sedaentre os seus 4 filhos, de modo que todos recebam partesiguais. Como poderá fazê-lo?
Situação 2: um menino necessita fazer 3 cartazes de mesmotamanho e dispõe de 5 folhas de cartolina. Para ajudá-lo amontar os cartazes, de que maneira podemos separar asfolhas de cartolina?
Situação 3: a professora tem 4 folhas de papel sulfite paradistribuir igualmente entre os cinco alunos de um grupo, parao trabalho de aula. Ela pede ajuda ao próprio grupo parafazer essa operação. Como vocês resolveriam a situação?
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Cadernos + Matemática - vol 2 p.60
Escreva, usando fração, modos de representarquanto cada uma recebeu.
4. Imagine que 2 amigas compraram juntas 3pacotes de balas, com 10 balas em cada. Elasquerem dividir igualmente entre elas. Comovocê faria essa divisão?
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Cadernos + Matemática - vol 2 p.60
ATIV. 33 – Novos problemas
1. Duas cidades A e B têm a população de 60.000 habitantes cadauma. Metade da população da cidade A são crianças, um quartosão jovens e os restantes são adultos. Dois quintos da populaçãoda cidade B são crianças, dois décimos são adultos e o restantesão jovens.
a)Copie a tabela abaixo em seu caderno.
b) Preencha a tabela e responda às questões:
Onde há mais crianças, na cidade A ou na cidade B?
O que é maior, dois décimos ou dois quintos da população dacidade B?
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VII - Reflexões Finais ....
Os números racionais surgiram quando osnaturais, que servem para contar, não foram maissuficientes para responder a todas asnecessidades do homem e sua origem veio danecessidade de responder à questão dacomparação entre duas grandezas.
O modelo parte-todo não segue essa lógica,e por isso acrescenta algumas dificuldades aoprocesso de aprendizagem das frações.
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Manusear os diversos significados.
Ultrapassar o modelo parte - todo e reconhecera fração imprópria.
Construir a ideia de equivalência.
Construir a ideia de ordem.
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Encerramento
A TODOS OS PROFESSORES PARTICIPANTES NESTA OT E AOSPCOPS QUE INTEGRAM A EQUIPE DE APOIO.
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