OBJETIVO : Comparar as médias de mais de duas amostras
independentes.
Porque não posso comparar as médias duas a duas com testes t ?
Exemplo com 3grupos : 1X2, 1X3 e 2X3.
Em cada teste que realizo tenho uma chance de erro do tipo I () que
estabeleço igual a 0.05. Se realizo 3 testes estes meu erro é multiplicativo
então minha chance que de não cometer o erro que era de (1 - 0.05) será
de (1 - 0.05)* (1 - 0.05)* (1 - 0.05) = 0.857 e = 0.143, bem maior do
que estipulamos. Consequência : Rejeitaríamos HO mais do que
deveríamos, encontraríamos mais diferenças significativas do que elas
realmente existem.
O teste estatístico que veremos protege contra este tipo de situação
comparando simultaneamente mais de duas médias. Fixa o meu erro.
Variáveis envolvidas:
1-A var. referente aos grupos que serão comparados, que pode ser cat.
nominal (Pr/Br/Am), cat. Ordinal ou quantitativas contínuas ou não, desde
que categorizadas em 2 categorias (0-20/21-40/41 ou +).
Neste teste são bastante conhecidos por FATORES ou tratamentos.
2 - A var. que será propriamente comparada, que deve ser numérica
(contínua ou discreta). Há grande controvérsia quanto às ordinais,
teoricamente não, mas no mundo real utiliza-se bastante também as
ordinais.
Exemplos:
- A média da taxa de glicemia é equivalente entre as raças (preto,branco e
amarelo)
- O tempo gasto para o alivio da dor é equivalente entre as drogas A, B, C
e o placebo
- A o valor da escala de depressão (BECK) varia conforme grupo com
IMC < 20, com IMC entre 20 e 25 e com IMC > 25
1 - A variável que será comparada (2) precisa ter
distribuição normal, é necessário realizar um teste de normalidade antes,
c.c, a eficácia do teste é bastante questionável. O procedimento correto é
testar a normalidade para cada nível da var. categorizada, cada nível do
FATOR (Usualmente testa-se somente a variável como um todo).
2 - A amostras precisam ter variâncias equivalentes, os fatores precisam
ter variância iguais. HOMOCEDASTICIDADE das variâncias.
Raramente vejo alguém realizar esta verificação. OBS.
3 - As observações (xi) de cada grupo são independentes uma das outras,
e as amostras são independentes entre si.
Graficamente
SUPOSIÇÃO :
Tese de hipótese associado
H0: Média da amostra 1 = Média da amostra 2; ...= Média da amostra n
X
H1: Média da amostra i Média da amostra j; para i j
Teste estatístico: Verificada e não rejeitada a hipótese de
normalidade e a homocedasticidade é o teste conhecido por
Análise de Variância ou ANOVA.
Lógica do teste: Suponha K amostras
Am.1 Am.2....Am.k Se tudo é casual ,todas as variações
x11 x12 x1k Mx1. s1. são casuais, a variação DENTRO
x21 x22 x2k Mx2. s2. de cada amostra deve equivalente
x31 x32 x3k a variação ENTRE cada amostra.
xn1 xn2 xnk Mxk. Sk. Variação ENTRE = 1
Mx.1 Mx.2 Mx.k Mx.. Variação DENTRO
s.1 s.2 s.k
Am.1 Am.2....Am.k
x11 x12 x1k Mx1. s1.
x21 x22 x2k Mx2. s2.
x31 x32 x3k.
xn1 xn2 xnk Mxk. Sk.
Mx.1 Mx.2 Mx.k Mx..
s.1 s.2 s.k
A variação ENTRE é a soma
dos desvios das médias das
amostras em relação à média
total ni(Mx. - Mx..)²
A variação TOTAL é a soma dos
desvios de cada observação em
relação à média Total
(xij - Mx..)²
Como var. TOTAL = var. ENTRE + var. DENTRO, a var. DENTRO
é calculada em função das outra duas.
Fontes de variação Soma dos Quadrados g.l. Qua. Médio F
Entre ni(Mx. - Mx..)^2 k-1 SQ/(K-1) QMEntre
Dentro Total - Entre N-k SQ/(N-k) QMDentro
Total (xij - Mx..)^2 N-1
TABELA DA ANOVA
A estatística (Quadr.médio ENTRE)/(Quadr. Médio Dentro) tem uma
distribuição tabelada conhecida por F ( de Snedecor).
Então acho o valor da est. e comparo com o valor da distribuição F com
(N-1);(N-k) g.l. e nível de significância adotado. OU (mais comum)
verifico qual a probabilidade do valor da est. numa distr. F com (N-1);
(N-k) g.l. e comparo com = 0.05. Se for menor rejeito HO.
Observe que na tabela F tenho
que verificar dois graus de
liberdade. Um relativo a variaçãoEntre e outro a variação Dentro
Exemplo direto no Minitab: Desejo
comparar as notas (0 -100) no
provão de 4 faculdades.
Vou em ‘Stats’ e daí em
“ANOVA” e depois “One-way”
Na nova tela coloco a var. Nota
(que contém os valores) em
‘Response’ e a var. Fac (que
contém a que faculdade o aluno
pertence) em ‘Factor’. E OK
Na saída há a tabela da Anova, com os g.l, SQ, QM, a estatística F e “p”.
Além disso temos o tamanho da amostra, média, dp para cada nível dofator.
Portanto Rejeito H0. Concluo que há diferença significativa
entre as amostras, mas quem é diferente de quem ?
Quando rejeito H0 em uma ANOVA necessito realizar um teste post hoc.
Este teste é que indicará quem é diferente significativamente de quem.
Existem muitos testes post hoc, cada um tem sua característica e éindicado para situações específicas. O Minitab fornece dois bastanteutilizados, o de TUKEY, que veremos, e o de DUNNET que é utilizadoquando uma das amostras é um controle que desejamos comparar com asdemais.
Na tela da ANOVA clicamos em
‘COMPARISONS” e obtemos a telaao lado.
Nesta tela optamos por “Tukey’s, o
valor 5 corresponde a 0.05 e é o default.
E OK.
Regra: Se o 0 não estiver dentro do intervalo há diferença significativa
entre os dois fatores, c.c., se o 0 estiver dentro do intervalo não há
diferença significativa entre os fatores. Quais as diferenças significativas ?
Resultado final é: Há diferença quanto às faculdades: F1 > F2 > (F3=F4)
No output verificamos que há 6 intervalos de confiança, cada um refere-
se a uma comparação específica, nesta ordem: 1x2, 1x3, 1x4, 2x3, 2x4 e
3x4.
Lembre que devemos testar a normalidade (vocês já estão cansados de
saber como) e devemos testar também a homocedasticidade das variâncias
Em ‘Anova’ vamos em ‘Test for Equal Va
Riances”. Lembre que nossa H0 neste tipo de
teste é que as variâncias são equivalentes e
H1 de não equivalência.
O preenchimento é o mesmo, a var.
com os valores em ‘Response’ e a
var. do grupo em ‘Factors’
Test for Equal Variances
Response Prova
Factors Fac
ConfLvl 95,0000
Bonferroni confidence intervals for standarddeviations
Lower Sigma Upper N Factor
11,6940 14,5611 19,1065 54 1
12,7417 14,9885 18,1156 103 2
10,5853 13,8308 19,6191 35 3
9,2218 15,4712 39,7042 8 4
Bartlett's Test (normal distribution)
Test Statistic: 0,360
P-Value : 0,948
Temos na saída umintervalo de confiançapara o dp de cada fator,
e o resultado do teste
de Bartlett que compara
mais de dois dp’s .
Com p = 0.948, nãorejeito H0 e assumo aigualdade das variâncias.
Resumindo :
1 - Teste a normalidade da variável (se não for normal tente
alguma transformação).
2 - Verifique a homocedasticidade das variâncias.
3 - Se rejeitar HO, aplique um teste post hoc.
Vimos a situação em que comparamos uma var. “ numérica” entre os níve-
is de uma outra var. categórica ou “ categorizada”. Podemos efetuar este
mesmo raciocínio para mais de uma var. categorizada ao mesmo
tempo e verificar se existe uma interação entre as variáveis
categorizadas, p.exp:
-Sexo e Raça influem nos valores de uma escala de ansiedade;
-Escolaridade e Presença de trauma influem no tempo de resolução de umteste;
-Renda (categorizada) e Situação conjugal influem nos resultados de umteste de stress ?
Em situações como esta, em que as variáveis independentes são duas ou
mais, podemos dizer que estamos realizando uma análise multivariada,
nas situações anteriormente vistas tínhamos sempre uma var. dependente
e uma independente, análise univariada, agora com duas vars. , multi, aná
lise multivariada.
Tipos de variáveis: 1- A dependente, que deve ter dist. Normal e homo-
cedasticidade das variâncias; 2 - As independentes que precisam ser cate-
gorias e um número mínimo em cada categoria (n = 10). Conselho
Um pesquisador deseja saber se 4 diferentes tipos
de droga, bem como a raça (3 categorias, raças)
tem influência sobre os valores de uma determinada
medida em ratos .
Observe que colocamos cada variável em uma coluna.
O método estatístico utilizado é conhecido por
“ANOVA TWO WAY”, devido as duas variáveis,
ou “ANOVA com 2 Fatores”, porém no Minitab a
utilização deste método requer um experimento BALANCEADO, i. é,
todas as combinações de Droga e raça (4 X 3 = 12 ) precisam ter o mes-
mo tamanho amostral.
Quando isto não ocorre (experimento não balanceado) o Minitab não rea-
liza o teste. Usaremos então o módulo “General Linear Model”.
Em “ANOVA” vamos em
“General Linear Model.
Nesta tela alocamos a var. resposta,
dependente, em ‘Response’, as vars.
independentes, os fatores, alocamos
em ‘ Random factors’ e na janela
referente a ‘Model’ explicitamos o
modelo que desejamos com os dois
Fatores e a interação: Droga, Raça,
Droga*Raça. E “OK”.
No output temos as vars. com os nú-
meros de níveis de cada uma e a tabela
da Anova. O que esta abaixo não nos
interessa.
Na Anova vemos que há uma diferen-
ça significativa entre as Drogas ( p =
0.008), não há diferença significativa
entre as Raças (0.81)e a interação não
foi significativa (p = 0.60).
A interação verifica, testa, se a eventual diferença encontrada em uma var.
permanece a mesma nos diferentes níveis da outra var., ou seja, será que a
diferença encontrada entre as drogas é a mesma para as diferentes raças ?
Como a interação do nosso exemplo não foi significativa (p = 0.60), con-
cluímos que sim. Se a interação fosse significativa (p ≤ 0.05) teríamos que
a diferença entre as drogas variaria significativamente conforme a raça
Para sabermos quem difere de quem nas drogas podemos utilizar o ícone de
“Multiple Comparisons” da “ANOVA ONE WAY”:
Perceba que quando fazemos um teste como este estamos realizando 3testes de hipótese:
1 - que compara os níveis da var. Droga;
2 - // // // // // // Raça;
3 – o que verifica a interação; se as diferenças encontradas nos níveis deum determinado fator variam ou não significativamente conforme osníveis do outro fator (variável).
Outro exemplo: Desejamos verificar se 3 diferentes tipos de terapia e o ní-
vel sócio-econômico (com 3 categorias) influem em uma escala.
Observe, novamente, como
fica a nossa tela no GLM do
Minitab.
Da tabela da Anova, inferimos que há
diferença significativa entre as clas-
ses sociais, e que esta diferença varia
conforme a terapia utilizada, a intera-
ção foi significativa ( p = 0.019).
Temos que Nse = 1 tem média 144.8; Nse = 2 tem média 107.6; Nse = 3
tem média 64.2, portanto NSE 1 > NSE 2 > NSE 3. MAS isto é para o ge-
ral, esta relação muda conforme a terapia.
Observando as médias dos NSE dentro de cada
terapia será que a relação Nse 1 > Nse2 > Nse 3
mantém-se em cada uma as terapias ? Não.
Dependendo do objetivo do pesquisador pode-se
realizar uma Anova one-way para cada terapia.
O raciocínio da Anova com 2 fatores pode ser extendido para n fatores,
uma Anova n fatorial (multifatorial), tantas quantas forem as vars. inde-
pendentes. Vejamos um caso com 3 vars.
Desejamos testar se uma var. dependente (Esc2) sofre influência do Sexo,
Trauma (Sim/Não) e da Idade categorizada em 3 níveis.
Ao lado temos como nos-
sa tela do GLM é organi-
zada.
No output temos que a Idade
influi na escala e esta influên-
cia varia conforme o Sexo
Como já foi dito, pode-se extender o raciocínio para mais variáveis inde-
pendentes, porém não é muito comum pois:
a)Devido a dificuldade de interpretação dos resultados, não é fácil“enxergar”
o que realmente está acontecendo;
b)É necessário uma amostra grande, consistente, que tenha uma quantidade
razoável de sujeitos em cada nível de cada variável;
c) O experimento precisa ser minimamente balanceado, ou seja, todos os
possíveis cruzamentos necessitam ter um número de amostra parecido e
não muito pequeno.
Quando temos muitas variáveis dependentes usualmente realizam-se asanálises univariadas e para a análise multivariada selecionamos aquelas
que na análise univariada apresentaram um “p” menor que um valor pré-
estabelecido (p ≤ 0.20 ou ≤ 0.10 ou ≤ 0.05) e as vars. que o pesquisador
acredita terem importância.
Na situação em que temos muitas vars. dependentes, ou mesmo poucas mas
o experimento não é balanceado (quando determinados níveis de uma ou
mais vars. não possuem amostra suficiente), utiliza-se a Anova mas sem
testar-se as interações, é a Anova somente com os efeitos principais.
Todos os testes vistos até agora (teste z, teste t para uma amostra,
teste t para amostras independentes, teste t para amostras pareadas e
Anova) possuem um ponto em comum e necessário para que possamser aplicados: NORMALIDADE, a variável que esta sendocomparada necessita ter distribuição Normal
Mas e quando rejeitamos a normalidade ou está claro que os dados
não possuem distribuição Normal, o que fazer ?
Em 1o. Lugar podemos tentar aplicar uma transformação em nossos
dados originais. Algumas transformações são bastante conhecidas e
em boa parte das vezes levam nossos dados que não possuem
normalidade a uma distribuição normal. No Minitab na barra deferramentas na função Calc. E depois Calculator.
São elas : Log, Ln, Raiz quadrada, Arcseno, 1/x ...
Entretanto nem sempre as transformações funcionam e há o caso
de amostras muito pequenas, onde não é possível nem testar anormalidade
Nestes casos iremos utilizar testes conhecidos por
NÃO-PARAMÉTRICOS
Os testes não-paramétricos também são conhecidos por testes de
distribuição livre (Free), pois não exigem nenhuma condição quanto à
forma da distribuição dos dados.
1 - O teste análogo ao teste t para duas amostras independentes é o teste
de MANN-WHITNEY, cujo objetivo é comparar se a média (mediana)
de uma amostra possui valor equivalente ao da outra amostra.
O tópico referente às variáveis envolvidas é equivalente ao do teste t
para duas amostras independentes, com ênfase que este método é
bastante utilizado com variáveis qualitativas ordinais.
O teste de hipótese associado é :
HO: Média (Mediana) da amostra 1 = Média (Mediana) da amostra 2 X
H1 : Média (Mediana) da amostra 1 Média (Mediana) da amostra 2.
Suposição: Não há suposição de normalidade, mas há a suposição
de independência entre as unidades amostrais (xi).
Procedimento: Exemplo: Desejamos comparar os scores de dois grupos
para um determinado teste psicológico:
Valores do grupo A: 5, 10, 2, 8 ,9, 1, 12
Valores do grupo B: 4, 3, 5, 0, 6, 7, 2
O 1o. passo é ordenar as duas amostras simultaneamente e atribuir
RANKS ( em português POSTOS) a ordenação
Valor Rank Valor Rank
0 1 6 9 Após esta operação retornamos
1 2 7 10 aos grupos os valores dos ranks
2 3.5 8 11
2 3.5 9 12 Grupo A: 7.5, 13, 3.5, 11, 12, 2, 14
3 5 10 13 Grupo B: 6, 5, 7.5, 1, 9, 10, 3.5
4 6 12 14
5 7.5 Com este valores (ranks) é que
5 7.5 serão efetuados os cálculos do teste.
A estatística T = S - ni(ni+1)/2 onde S = (Ranks de uma das
amostras tem uma distribuição tabelada.ni= Tamanho da amostraescolhida.
Então S = 7.5 + 13 + ... + 14 = 63 e T = 63 - (7*8)/2 = 35 que equivale
na tabela específica a um p value = 0.20, logo não rejeitamos H0
(0.20 > 0.05).
Desejamos comparar a renda de
homens e mulheres numa determina
da função.
‘Stats’, daí vamos em “Nonparame
trics” e depois em “Mann-Whitney.
Observe que apesar das amostras
serem independentes elas estão
em colunas diferentes.
Aloco uma amostra em “First Sample”,
a outra amostra em “Second Sample”.
Observe que optei por um teste bicaudal
e OK
Mann-Whitney Test and CI: renmas; renfem
renmas N = 13 Median = 518,1
renfem N = 19 Median = 401,1
Point estimate for ETA1-ETA2 is 101,4
95,4 Percent CI for ETA1-ETA2 is (23,2;286,0)
W = 219,0
Test of ETA1 = ETA2 vs ETA1 not = ETA2
is significant at 0,0193
The test is significant at 0.0189 (adjusted forties
No output temos os tamanhos de
amostra, as medianas, um interva-
lo de confiança para a diferençadas medianas, a estatísticacalculada teste de hipótese, seu
tipo e o p-value.
Portanto rejeitamos H0.Para fugir de polêmicas,conclua assim :
O sexo masc. apresentou valores significativamente superiores aos do fem.
2 - O teste análogo ao teste t para duas amostras pareadas é o teste de
WILCOXON, cujo objetivo é comparar as médias (medianas) de duas
amostras correlacionadas, pareadas, ou seja, não independentes .
Tudo o que foi visto anteriormente a respeito das duas medidas serem
realizadas na mesma unidade amostral contínua válido aqui.
O tópico referente às variáveis envolvidas é equivalente ao do teste t
para duas amostras pareadas, com ênfase que este método é bastante
utilizado com variáveis qualitativas ordinais.
O teste de hipótese associado é: HO: A diferença entre as medianas(médias) = 0; X H1: A diferença entre as medianas (médias) 0Observe que este teste é semelhante a testarmos , se a “variável” diferençadifere ou não significativamente de 0.
Suposição: A variável ‘DIFERENÇA’ não necessita ter distribuição
normal, a suposição de independência entre as diferenças é necessária..
Procedimento:Exemplo: Desejamos comparar o % de resposta
de um tipo de tratamento em dois lotes de células tumorais:
Infelizmente o Minitab não possui um módulo específico para a
realização do teste de Wilcoxon para amostras pareadas.
Adotaremos um procedimento que fornecerá o mesmo resultado.
Após calcular as diferenças entre a unidades
amostrais realizarei u m teste que verifica se
a mediana das diferenças é equivalente a 0
H0: Antes = Depois Antes - Depois = 0
Diferença = Antes -Depois H0:Diferença = 0
X H1 : Diferença 0
Após digitar meus grupos A e B nas colunas
C1 e C2, na barra de ferramentas vou em“Calc” e daí em “Calculator”
Na tela resultante no espaço “Expression”
indico a operação que desejo, que é
var. A - var.B, e aviso que desejo
armazena-lá na coluna C6 em
“Store result ... “. E OK
Depois vamos em ‘Stat’, “Nonparametrics”
e daí em “1-Sample Wilcoxon”
Na tela do teste especificamos a variável
C6 (Diferença), ativamos “Test median”
e colocamos o valor 0
Wilcoxon Signed Rank Test: C6
Test of median = 0,000000 versus median not =0,000000
N for Wilcoxon Estimated
N Test Statistic P Median
C6 9 8 33,0 0,042 5,000
Na saída temos o teste de hipótese,
o p-value e a mediana estimada.
Rejeitamos H0, portanto a diferença entre
as amostras A e B e A > B, pois a mediana
estimada é positiva.
3 - O teste análogo ao teste para comparar mais de duas amostras
independentes (ANOVA) é o teste de KRUSKAL-WALLIS, tambémconhecido por Análise de Variância Não-Paramétrica
O tópico referente às variáveis envolvidas é equivalente ao do teste t
para duas amostras independentes, com ênfase que este método é
bastante utilizado com variáveis qualitativas ordinais.
O teste de hipótese associado é :
HO: Média (Mediana) da amostra 1 = Média (Mediana) da amostra 2 X
H1 : Média (Mediana) da amostra 1 Média (Mediana) da amostra 2.
Suposição: Não há suposição de normalidade, mas há a suposição
de independência entre as unidades amostrais (xi)e entre as unidades das
diferentes amostras.
A estatística onde Ri é o ranking
médio de cada amostra
K = número de amostras (fatores, grupos) , N = tamanho total da amostra
e ni = tamanho de cada amostra; tem distribuição Qui-Quadrado com k-1
graus de liberdade.
Exemplo da distribuição Qui-
Quadrado com g.l. = 4.
Exemplo direto no Minitab: Quero verificar se 3 tratamentos produzem
resultados equivalentes ou não.
‘Stats’, “Nonparametrics”, e daí em
“Kruskal-Wallis”
Na tela alocamos a var. X em”Response“
e a var. dos grupos em “Factor”.
Kruskal-Wallis Test: X versus Trat
Kruskal-Wallis Test on X
Trat N Median Ave Rank Z
1 10 1,882 8,8 -2,95
2 10 3,903 24,0 3,74
3 10 2,289 13,7 -0,79
Overall 30 15,5
H = 15,53 DF = 2 P = 0,000
Na saída temos para cada fator o
n, a mediana, o rank médio, a esta
tística calculada, os g.l. e o p-value
< 0.001, portanto Rejeito H0, há
diferença entre os tratamentos.
Entretanto, quase sempre desejamos saber quais as diferençassignificativas entre os tratamentos. O Minitab não fornece nenhum testepost hoc quando rejeitamos H0 em sua ANOVA não-paramétrica.
O teste post hoc utilizado é o de DUNN, portanto pesquise um programa
que faça este teste. Outro recomendado é o de Newman-Keuls, encontra
do nos módulos da ANOVA paramétrica, normal em alguns programas..
1) Comparar uma média (mediana) amostral
Normal Teste t para uma amostra
Não Normal Teste de Wicoxon para uma amostra
4) Comparar mais de duas amostras independentes
Normal ANOVA (Análise de Variância)
Não Normal Teste de Kruskal-Wallis.
3) Comparar duas médias amostrais pareadas ou correlacionadas
(mesma unidade amostral)
Normal Teste t para amostras pareadas ou correlacionadas
Não Normal Teste de Wilcoxon para amostras pareadas
Normalidade da variável DIFERENÇA
2) Comparar duas médias medianas amostrais independentes
(unidades amostrais independentes)
Normal Teste t para amostras independentes
Não Normal Teste de Mann-Whitney