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Elementos de AnáliseNumérica

Prof. Carlos Ruberto Fragoso Júnior

Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

Solução de problemas de Engenharia

Sem computador

Com computador

Antes  Problemas com equações conhecidas, massem condições de serem trabalhadas

Tópicos

Aproximação ou Ajuste de curvas

Integração numérica

Derivadas numéricas

Raízes de equações

Sistemas de equações lineares

Sistemas de equações não lineares

Aplicações em Recursos Hídricos

Raizes da equação de manning

Canal prismático

Canal com seção dada em tabela

Equação de remanso

Solução da equação para encontrar x ideal paramuskingun cunge (propagação de vazões)

Solução da propagação de reservatório usandoNewton

Aproximação ou ajustes de curvas

Três aplicações

Extrair informações de dados  problemas de previsãode população, por exemplo

Estudo de Leis ou funções que relacionem duasvariáveis ambientais  largura do rio em função daárea da bacia de aporte; área impermeável em funçãoda densidade habitacional, volume em função da cotaem um reservatório,...

Achar funções mais simples de se trabalhar do que afunção proposta

Aproximação ou ajustes de curvas

Duas classes de métodos

Interpolação  consideramos os dados precisos  acurva de ajuste coincidirá com os pontos dados

Método dos quadrados mínimos  leva-se emconsideração erros introduzidos na obtenção dos dados

Dados

Interpolação

Quadrados mínimos

Interpolação linear

A forma mais simples de interpolação é a interpolaçãolinear, em que dois pontos são unidos por uma linha reta

Aproximação

cota

volume

Interpolação quadrática

Encontra uma parábola que aproxima 3 dadosconsecutivos

Aproximação

cota

volume

De forma geral

Temos n+1 pontos (x0,y0), ..., (xn, yn), onde x0 ≠ x1 ≠ ... ≠ xn

Conhecemos y0 = f(x0), ..., yn = f(xn)

Gostaríamos de encontrar o polinômio p(x) tal que p(x0) =f(x0), ..., p(xn) = f(xn)  polinômio interpolador

Aproximação

Interpolação

9 pontos

A função f éconhecida em todoseles

O que a matemática garante?

Aproximação

Interpolação

O que a matemática garante?

Seja f(x) uma função conhecida nos n+1 pontosdistintos x0, x1, x2,..., xn. Existe um único polinômiop(x), de grau menor ou igual a n, tal que

p(xi) = f(xi) para i = 0, 1, 2, ..., n

Parábola (n = 2)  mínimo 3 pontos

Polinômio de grau 8  mínimo de 9 pontos

Aproximação

Interpolação

Splines

Funções polinomiais “por partes”  Splines

As “partes” fazem parte de uma partição devido aospontos interpolados

Ao se escolher, por exemplo, Splines cúbicos(ordem 3), fazemos uma “colagem” de polinômiosde grau 3 em cada subintervalo do intervalo quecaracteriza a partição

Aproximação

Splines

Interpolação numérica

Splines

Alguns softwares de planilha usam splines cúbicospara suavizar linhas de gráficos

Interpolação numérica

Existem rotinas prontas em praticamente qualquerlinguagem para interpolação com polinômios e splines Calculadora, Matlab, Excel, etc…

Splines

Os splines cúbicos podem causar alguns problemas.

Interpolação numérica

Quadrados mínimos

Em alguns casos é necessário gerar funções que aproximamrazoavelmente um conjunto de dados.

Ao contrário da interpolação, no ajuste não é necessáriorespeitar todos os pontos.

A idéia é minimizar os erros com uma função simples.

Ajuste – exemplo em simulação

Relação entre largura de um rio e área de drenagem obtida apartir de seções transversais em locais de postosfluviométricos da ANA

Quadrados mínimos

Utilizada paracalcular osparâmetros domodelo MuskingumCunge em locais semdados

Curva chave de um posto pluviométrico é um ajuste de umaequação pré-determinada aos dados de medição de vazão.

Ajuste – exemplo em simulação

Quadrados mínimos

Integração numérica

Quando utilizar?

quando é necessário obter informações de áreamolhada e raio hidráulico de uma seção transversalde um rio, definida por pares de pontos x e y

Também surgem quando é necessário discretizaruma função analítica contínua, de forma que suaárea seja mantida

Idéia básica da integração numérica  aproximação dafunção por um polinômio

Integração numérica

Matlab

Interpolação 1D  função interp1

Métodos: 'nearest' - vizinho mais próximo, 'linear‘,'spline' - spline cúbico ....

yi = interp1(x,Y,xi)

$C:\Program Files\MATLAB\R2013a\help\matlab\ref\math_i6.gif$

Integração numérica

Procura-se desenvolver fórmulas de integração dotipo:

Pontos de integração

Pesos da fórmula de integração

O uso desta técnica decorre do fato de:

por vezes, f(x) ser uma função muito difícil deintegrar, contrariamente a um polinômio;

a única informação sobre f(x) ser um conjunto depares ordenados

Fórmulas de Newton-Cotes.

Regra do Trapézio simples, x0=a e xn=b;

Regra do Trapézio composta, x0=a e xn=b;

Regra de Simpson , x0=a e xn=b.

Integração numérica

Integração numérica

Fórmulas de Newton-Cotes

Usam pontos de integração igualmenteespaçados  (a,b) intervalo de integração

Usa-se um polinômio de grau n, escrito pelafórmula de Lagrange, que interpola os (n+1)pontos [xi, f(xi)] i = 0, 1, 2, …, n

Integração numérica

Fórmulas de Newton-Cotes

n = 1  fórmulados trapézios

Regra do trapézio simples

f(x)

f(x1)

f(x0)

Aproxima a área sob a curva pela área de um trapézio

Intervalo [a, b] relativamente pequeno

aproximação do valor da integral é aceitável

Intervalo [a, b] de grande amplitude

aproximação inadequada  pode-se subdividí-loem n sub-intervalos, e em cada um a função éaproximada por uma função linear

Regra do trapézio simples

Fórmulas compostas ou fórmulas repetidas

Regra do trapézio composta

Intervalo [a, b] de grande amplitude

Soma da área de n trapézios, cada qualdefinido pelo seu sub-intervalo

Subintervalos de igualcomprimento h

Fórmula:

Só os termos f(x0) e f(xn) não se repetem,assim:

Regra do trapézio composta

Regra do trapézio composta

Regra do Trapézio Simples: 2 pontos (x0=0,0 ex1=4,0)

I=h/2*(y0+y1)=2x(1,00000+0,24254) = 2,48508

Regra do Trapézio Composta: 3 pontos (x0=0,0,x1=2,0,x2 =4,0)

I=h/2(y0+2y1+y2)=1x(1,00000+2x0,44722+ 0,24254) =2,1369

Regra do Trapézio Composta: 9 pontos

I=(0,5/2)x(y0+2y1+2y2+2y3+2y4+2y5+2y6+2y7+y8)=2,0936

y=(1+x²)-1/2

0.0

1,00000

0.5

0,89445

1.0

0,70711

1.5

0,55475

2.0

0,44722

2.5

0,37138

3.0

0,31623

3.5

0,27473

4.0

0,24254

A aproximação para 9 pontos é melhor, dadoque o valor real é 2,0947

Exemplo: Estimar o valor de

Regra do trapézio composta

Matlab

Regra do trapézio  função trapz

 Z = trapz(Y)  calcula uma aproximação para aintegral de Y (com espaçamento unitário)

 Z = trapz(Y,X)  calcula uma aproximação paraa integral de Y, definida pelos pares X, Y

X=0:0.5:4

Y=sqrt(1+X.^2);

Y=Y.^(-1);

Z = trapz(X,Y);

A regra utilizada é composta?

f(x)

f(x1)

f(x0)

ERRO!

Erro

E = I – T

T - valor da integralnumérica.

I - valor da integralobtida pela integraçãode f(x)

Regra do trapézio composta

Erro da Regra do Trapézio Simples

Erro da Regra do Trapézio Composta

O erro final de uma fórmula repetida é obtido pela soma

dos erros parciais

Regra do trapézio composta

12:02

Exemplo: Seja ,

calcule uma aproximação para I usando a Regra dos TrapéziosSimples. Estime o erro cometido.

Regra do trapézio composta

12:03

Estimativa do erro cometido:

Regra do trapézio composta

Integração numérica

n = 2  fórmula de Simpson

Regra de Simpson

f(x)

f(x1)

f(x0)

Aproxima pela área de um polinômio de grau 2

f(x2)

Fórmula

Considerando n sub-intervalos (n deve serum número par):

Regra de Simpson composta

Regra de Simpson composta

Dividindo [0,1] em seis subintervalos, temos:

h=1/6

Regra de simpson

S =1/18.[1+4(6/7+2/3+6/11)+2. (3/4+3/5)+1/2] = 0,69317

Valor da integralI = ln(2) = 0,69315

y=(1+x)-1

0.0

1,00000

1/6

6/7

2/6

3/4

3/6

2/3

4/6

3/5

5/6

6/11

1/2

Exemplo: Estimar o valor de

Regra de Simpson

Regra de Simpson- Erro

Erro da Regra de Simpson

Diferenciação numérica

Idéia básica da diferenciação numéricaAproximar a derivada real em um ponto utilizandodiferenciais pequenos.

Utilizando principalmente na discretização deequações diferenciais

Diferenciação numérica

Diferenciação numérica  Erros detruncamento

As derivadas numéricas são apenas umaaproximação razoável das derivadas analíticas

É possível avaliar o erro cometido nestaaproximação utilizando as séries de Taylor

Séries de Taylor

A série de Taylor permite estimar o valor de umafunção num ponto a partir do valor da função e dassuas derivadas em um ponto próximo.

Onde h é a diferença entre xi+1 e xi.

A série de Taylor é infinita.

A aproximação da derivada numérica é finita

O resto

O resto é dado por

onde fn+1 é a derivada de ordem n+1 e é um valor entrexi+1 e xi

Séries de Taylor

Séries de Taylor e derivadas

A derivada numérica tem erro detruncamento dado por Rn/h

O valor do erro R1/h é da ordemde h  O(h)  pode-seexpressar

Erro da ordem de h  quanto menor o passo (incremento),menor o erro da aproximação

Erros de arredondamento x truncamento

Erro de arredondamento  soma das incertezasassociadas à representação do sistema denumeração na máquina  o computador utilizauma representação binária com um número finitode bytes para representar os números reais

Erro de truncamento  aquele associado aotruncamento de um processo infinito  como oprocesso infinito não se conclui, somos forçados aadotar uma aproximação obtida após a execuçãode alguns passos

Tipos de derivadas numéricas

Progressiva forward

Regressiva backward

Centrada Centered

Considerando que h é pequeno, o erro de truncamento da

derivada numérica centrada é menor do que os outros.

12:16

Tipos de derivadas numéricas

Derivada segunda:

12:17

Tipos de derivadas numéricas

regressiva

analítica

progressiva

centrada

Exemplo derivada numérica

A celeridade cinemática depropagação de perturbações noescoamento é calculada por

onde c é a celeridade, Q é avazão e A é a área da seçãotransversal

Exemplo derivada numérica

Considerando uma seção prismática regular

Exemplo derivada numérica

Considerando uma seção qualquer

Tabelas de

A; R e Q em

função de h

interpolação

Raízes de equações

Recursos hídricos  surgem muitas equaçõesde difícil solução analítica, com termosimplícitos e não lineares

Os métodos aqui apresentados são iterativos estabelecemos uma expressão (função deiteração) que, aplicada repetidas vezes, apartir de uma aproximação inicial conhecida,produz uma sequencia de aproximações queconvergem para a solução do problema.

Raízes de equações

Determinação da aproximação inicial para ocaso de uma única função  do cálculodiferencial e integral:

Se y = f(x) é uma função contínua e muda de sinal nointervalo [a,b], isto é, se f(a) . f(b) < 0  existe pelomenos um ponto c E [a,b] tal que f(c) = 0. Se, alémdisso, f’(x) não muda de sinal em [a,b]  c é a únicade f(x) neste intervalo

O ponto médio do intervalo pode ser umaaproximação inicial  método da bisseção

Métodos numéricos para encontrar raízesde equações

Bissecção

Falsa posição

Newton-Raphson

Secantes

Raízes de equações

f(x)

raiz

No método de bissecção é necessário fornecerduas estimativas iniciais (limites do intervalo) devalor de x que “cercam” a raiz

Dadas as duas estimativas iniciais xu e xl, umaprimeira estimativa para a raiz é dada por:

Raízes de equações

F(x)

Método de bissecção

Método de bissecção

F(x)

Supõe-se que a raiz esteja exatamenteentre xu e xl

Se f(xr).f(xl) negativo, então

Busca entre xr e xl

Se não, busca entre xr e xu

Raízes de equações

Busca entre xr e xu

Busca termina de acordo

Com critério de parada

Critérios de parada

Incremento de x menor que um dado limite

Diferença entre f(x) no ponto testado e zero émenor do que um dado limite

Raízes de equações

Método de bissecção

Método de falsa posição

Raízes de equações

F(x)

Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de

uma linha reta unindo os dois pontos

Método de falsa posição

Raízes de equações

F(x)

Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de

uma linha reta unindo os dois pontos

Método de falsa posição

Raízes de equações

F(x)

Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de

uma linha reta unindo os dois pontos

Método de falsa posição

Raízes de equações

F(x)

Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de

uma linha reta unindo os dois pontos

Bissecção e falsa posição sempre encontrama raiz, mas podem ser demorados

Além disso, exigem que sejam dadas duastentativas iniciais com sinais contrários dafunção

Raízes de equações

Problemas dos métodosanteriores

Raízes de equações

Método de Newton-Raphson

Raízes de equações

Combina duas ideias básicas muito comuns emaproximações numéricas:

Linearização  substituir (numa certavizinhança) um problema complicado por suaaproximação linear que, por via de regra, é maisfacilmente resolvida

Iteração  um processo iterativo, ouaproximações sucessivas  repetiçãosistemática de um certo procedimento até queseja atingido um grau de aproximação desejado

Método de Newton-Raphson

Raízes de equações

Linearização de uma função  valor de f em x3

f(x)

f(x3)

Quanto mais próximo eu tomo um ponto de x3, mais areta se aproxima da curva

Coef. angular da reta L(x)que passa em x2 :

Este coef. angular tambémé dado por f’(x2)

L(x3)

f(x2)

7:36

f(x3)

Método de Newton-Raphson

Raízes de equações

f(x2)

x

L(x3)

Para que x3 seja a raiz

Pela série de Taylor



Raízes de equações

Método de Newton-Raphson

Supondo que

(xi+1 é a raiz)

Método de Newton-Raphson

F(x)

Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma

linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial

Tentativa inicial

Raízes de equações

F(x)

Tentativa inicial

derivada

Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma

linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial

Raízes de equações

Método de Newton-Raphson

F(x)

Tentativa inicial

derivada

Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma

linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial

Raízes de equações

Método de Newton-Raphson

F(x)

derivada

Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma

linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial

Raízes de equações

Método de Newton-Raphson

F(x)

Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma

linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial

Raízes de equações

Método de Newton-Raphson

Raízes de equações

Método de Newton-Raphson

Critérios de parada  quando f(xi) forsuficientemente próximo de zero ou quando adiferença de dois iterados torna-se muito pequena

Problemas do método deNewton-Raphson

É melhor que a primeira estimativa não esteja longedemais da raiz

Raízes de equações

Raízes de equações

Problemas do método deNewton-Raphson

É melhor que a primeira estimativa não esteja longedemais da raiz

Método das Secantes

Um possível problema do método de Newton-Raphson, especialmente em recursos hídricos, éque pode ser difícil estimar a derivada da função

Neste caso é possível utilizar uma aproximaçãonumérica para a derivada, gerando o métododas secantes

Raízes de equações

f(x)

Tentativa inicial

secante

Método das Secantes

Raízes de equações

Semelhança dos triângulos abaixo

f(x)

Tentativa inicial

secante

Método das Secantes

Raízes de equações

f(x)

Tentativa inicial

secante

Método das Secantes

Raízes de equações

Método das Secantes

Raízes de equações

Comparação de métodos

Newton-Raphson é mais rápido, seguido dométodo das secantes, da falsa posição efinalmente bissecção

Newton-Raphson e Secantes podem divergir

Secantes pode ser aplicado para funções emque é difícil obter derivadas (comuns emsimulação hidrológica)

Mas podemos usar derivadas numéricas

Raízes de equações

Comparação de métodos

Raízes de equações

Comparação de métodos

Raízes de equações

Comparação de métodos

Raízes de equações

Comparação de métodos

Mesmo exemplo no excel  Newton

Raízes de equações

Comparação de métodos

Mesmo exemplo no excel  Newton comderivadas numéricas

Raízes de equações

Comparação de métodos

Mesmo exemplo no excel  Secante

Raízes de equações

Matlab

Exemplo

Calcule o nível da água h se:

Q=15 m3/s

S=0,001 m/m

n=0,02

B=8 m

Raízes de equações

Exemplo

Q=15 m3/s

S=0,001 m/m

n=0,02

B=8 m

m=1,5

Raízes de equações

Calcule o nível da água h se:

Raízes de equações

Exemplo

Calcule a vazão de um vertedor

g=9,81 m/s2

h=20 cm

L=10 m

C=2

Raízes de equações

Exemplo

Calcule o nível h para uma dada vazão Q

Tabelas de A; R e Q em função de h

Q = 15 m3/s

S = 0,001 m/m

n = 0,02

Simples busca e interpolação da tabela

Raízes de equações

Outro exemplo: balanço hídricode reservatório com vertedor

Equação de vertedor

Raízes de equações

Supondo um reservatório

Como tornar o termo de h no tempo t+1 explícito?

Raízes de equações

Como encontrar raízes deequações implícitas

Método de bissecção

Método de Newton-Raphson

Método das secantes

E se houver operação de comportas durante uma cheia?

Raízes de equações

Exemplo

Na aplicação do método de Muskingum-Cunge para a simulação dapropagação de vazão em rios, utilizam-se sub-trechos, cujoscomprimentos ideais podem ser encontrados resolvendo a equaçãoabaixo:

Aplique considerando:

Q0=100 m3/s

c0=1,0 m/s

B = 30 m

S0=0,001 m/m

t = 1 hora (3600 s)

Use a equação abaixo para

a estimativa inicial

Raízes de equações

Solver do Excel

O solver pode ser utilizado para encontrar raízesde equações

Não está claro que método que Solver utiliza

Chute inicial deve estar relativamente próximo daraiz

Raízes de equações

Problema comum em engenharia;

A utilização do método está liga a doiscondicionantes: (a) matriz de coeficientes, (b)eficiência da solução;

Classificação:

Quanto ao tipo: (a) linear, (b) não linear;

Quanto ao tipo de solução: (a) direta (ex. Gauss),(b) iterativa (ex. Gauss-Seidel);

Quanto à solução: (a) compatível e determinada;(b) compatível e indeterminada; (c) incompatível.

Sistemas de equações - Introdução

Sistemas de equações lineares

Pode ser definido como:

Sistemas de equações lineares

Em forma matricial:

Matriz do coeficientes

Vetor das incógnitas

ou vetor solução

Vetor das

constantes

Sistemas de equações lineares

Classificação quanto à solução:

Possível e determinado → Possui uma únicasolução.

Solução trivial → Det(A) ≠ 0 e B = 0;

Solução não trivial → Det(A) ≠ 0 e B ≠ 0

Possível e indeterminado → Possui infinitassoluções

Det(A) = 0 e B = 0 ou B é múltiplo de uma coluna de A

Impossível → Não possui soluções

Det(A) = 0 e B ≠ 0 e B não é múltiplo de nenhumacoluna de A

Soluções de sistemas de equações lineares

Método de Gauss (direto)

Método direto  fornecem a solução do sistemaapós a realização de um n° finito de passos. Oserros são basicamente de arredondamento damáquina

Método de Gauss-Seidel (iterativo)

Métodos iterativos  baseiam-se na construçãode sequências de aproximações; em cada passovalores calculados anteriormente são usadospara melhorar a aproximação

Método de Gauss

Consiste em transformar a matriz A em umamatriz triangular equivalente através dasseguintes operações:

Subtração de uma linha por outra multiplicada poruma constante;

Formação de uma matriz diagonal superior.

Método de Gauss

Considere,

onde:

Método de Gauss

1o passo: Definir um multiplicador para cadalinha baseado na primeira

m2 = a21/a11; m3 = a31/a11

2o passo: Subtrair o produto do multiplicadorda 2a e 3a linha pela 1a linha

a’i,j=ai,j- mi . ai-1,j , onde i = 2,3 e j = 1,2,3

Método de Gauss

O multiplicadores são: m2 = a21/a11 = 4/2 = 2 e m3 = a31/a11 = -2/2 = -1

(x 2)

(x -1)

(-)

Método de Gauss

2a linha:

Os multiplicadores são: m2 = a21/a11 = 4/2 = 2 e m3 = a31/a11 = -2/2 = -1

3a linha:

Método de Gauss

Após estes passos, a matriz aumentada fica da seguinte forma:

Repentindo os passos de 1 a 3, só que agora tomando como

base a linha 2:

Método de Gauss

Calculando os novos multiplicadores: m’3 = a’32/a22=2/1=2

(x 2)

(-)

Método de Gauss

3a linha:

Calculando os novos multiplicadores: m’3 = a’32/a22=2/1=2

Após estes passos, a matriz aumentada agora tem a seguinte forma:

Método de Gauss

Equivalente a:

Resolvendo o novo sistema, obtem-se:

Método diretos como o de Gauss tem avantagem de fornecer a solução após um n°finito de passos e não dependem decondições de convergência

Podem ser inviáveis quando o sistema émuito grande ou mal condicionado

Método de Gauss

Método iterativo de Gauss-Seidel

É um dos métodos mais comum e simples deser programado;

O método converge somente sob certascondições e normalmente conduz a umnúmero maior de operações quandocomparado com métodos diretos

Como qualquer método iterativo convenientes para sistemas grandes eesparsos que aparecem após discretização deEDPs

Método iterativo de Gauss-Seidel

A equação utilizada para iterações é a seguinte:

Pode-se utilizar um coeficiente para acelerar o processo

de convergência:

Método iterativo de Gauss-Seidel

Seja o sistema de equações:

Método iterativo de Gauss-Seidel

Obtemos o valor de x1 a partir da primeira equação, o valor de x2 a

partir da segunda equação e assim sucessivamente:

Método iterativo de Gauss-Seidel

Ponto de partida

Conjunto de valores iniciais  na falta de melhoresinformações, podemos usar x1 = x2 = ... = xn = 0

Critério de parada

Número de iterações excedeu um determinadovalor m;

A seguinte condição atenta uma precisão adotada:

Método iterativo de Gauss-Seidel

Convergência do método:

Existe um critério de convergência, através de umteorema, que envolve autovalores de matrizes, oque nem sempre é trivial

Este teorema, no entanto, permite estabeleceroutras condições de convergência de verificaçãomais simples

O método converge se a matriz A é diagonalmentedominante

O método converge se a matriz A é uma matriz positivadefinida

Método iterativo de Gauss-Seidel

Convergência do método:

matriz de coeficientes seja positiva definida

Inspeção da diagonal principal (necessária):

Domínio da diagonal (suficiente):

Método dos menores principais (necessária e suficiente):

Método iterativo de Gauss-Seidel

Considere

Aplicando o método, tem-se

Método iterativo de Gauss-Seidel

Considerando o ponto de partida com Xk=(x1, x2, x3)=(0, 0, 0),

a primeira iteração fica:

Adotando ɛ = 0.0001, após244 iterações a soluçãoconverge para:

Método iterativo de Gauss-Seidel

Exercício para casa:

- Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas lineares pelométodo iterativo de Gauss-Seidel.

Sistemas de equações não lineares

Pode ser definido como:

onde f é uma função não linear em função de x1,x2,…,xn.

Sistemas de equações não lineares

Método iterativo de Newton

Se baseia no método Newton-Rapson parasolução de equações não lineares

Transforma o sistema não linear em um sistemalinear (linearização), este resolvido a cada umadas várias iterações de modo que a solução dolinear se aproxime daquela esperada (não linear)

Método iterativo de Newton

Um sistema de equações não lineares:

pode ser expandido para série de Taylor de primeira ordem:

Método iterativo de Newton

Resultando em um sistema de equações lineares:

onde Δxi = xik+1- xik

Método iterativo de Newton

Em forma matricial:

Jacobiano (k)

Vetor das incógnitas

ou vetor solução (k+1)

Vetor das

Constantes (k)

Método iterativo de Newton

Ponto de partida

Conjunto de valores iniciais

Critério de parada

Número de iterações excedeu um determinadovalor m;

Verifique se a seguinte condição atenda umaprecisão adotada:

Método iterativo de Newton

Convergência do método:

É necessário que a matriz de coeficientes sejapositiva definida

Inspeção da diagonal principal (necessária):

Domínio da diagonal (suficiente):

Método dos menores principais (necessária e suficiente):

Método iterativo de Newton

Exercício para casa:

- Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas

não lineares pelo método iterativo de Newton.

Trabalho

Desenvolver uma iteração, manualmente, dosistema não linear resultante do chamadoproblema dos três reservatórios a seguir

Verifique as condições de convergência(matriz A diagonalmente dominante epositiva definida)

Utilize o método de Gauss-Sidel após alinearização do sistema não-linear

Prazo: 1 semana após esta aula

7:36

Trabalho

o sistema abaixo é composto por 3 reservatórios.Não se sabe quais os valores de vazão nos trechosnem a cota piezométrica (CP) no ponto deconvergência dos trechos. Para Determiná-los,desprezando as perdas de carga localizadas e ascargas cinéticas

7:36

trecho

L(m)

D(mm)

300

400

0,03

300

400

0,03

900

500

0,02

100m

90m

80m

Trabalho

Para resolver este problema, faz-se ahipótese de que a CPD = 90, o que equivalea dizer que QDB = 0

Depois testa-se a hipótese

Do resultado do teste, ou o problemaacaba ou se monta um sistema deequações não-lineares com 4 incógnitas.

A seguir o resumo do processo

7:36

Completando a tabela  =0,0826f

100m

90m

80m

trecho

L(m)

D(m)



300

400

0,03

0,00248

300

400

0,03

0,00248

900

500

0,02

0,00165

Trabalho

Hipótese  CPD= 90m  QDB=0 m3/s

Calcular QAD e QDC. Por exemplo,

100m

90m

80m

Trabalho

Hipótese  CPD= 90m  QDB=0 m3/s

100m

90m

80m

trecho

H

Q (m3/s)

0,37

0,00

0,46

QAD< QDC

QDB≠ 0

Trabalho

Sistema deequações

Resultado  CPD=89,63m,QAD=0,38m3/s, QDB=0,07m3/s eQDC=0,45m3/s

Trabalho

Resultado

100m

90m

80m

0,38 m3/s

0,07 m3/s

0,45m3/s

89,63m

Trabalho

Trabalho

Para facilitar, chame:

CPD de x1

QAD de x2

QDB de x3

QDC de x4

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